[수험생조언] 수학 교과서는 딱 이 부분만 공부해라

Any book worth reading once is is worth reading twice.

 

한번 읽을 가치가 있는 책은 두번 읽을 가치가 있다.

 

 

 

교과서를 공부하는 방법은 정말 여러가지가 있습니다만, 사실 저는 교과서 자체가 그렇게 중요하다고 생각하지는 않습니다.

왜냐면 실제로 수능은 매년 조금씩 업그레이드 되는데 반해 교과서는 거의 그대로이기 때문입니다.

물론 본질은 변하지 않지만, 가장 어려운 문제를 맞추려면 본질 이상의 것을 볼줄도 알아야하거든요.

다만 그렇다고 교과서를 쓰레기통에 버리는것도 어리석은 짓일 겁니다.

교과서적으로 사고하는 방식 자체는 매우 중요하다고 할 수 있겠지요.

그래서 한번쯤 교과서를 찬찬히 읽어보면서 곱씹어 보는 것은 어느정도 이득이 되는 공부방법이라고 할 수 있겠습니다.

교과서에 있는 저는 그 중에서도 [공식들 다시 유도해보기] 를 소개해보고자 합니다.

(사실 그런 면에서는 굳이 교과서로 공부를 하지는 않아도 됩니다.

여러분들이 가지고 있는 인강교재나 참고서로도 충분히 학습할 수 있는 방법입니다.)

 

여기서 주의해야할 점이이 하나 있는데요. 공부를 시작할때 처음부터 바로 모든 공식을 유도하려고 하는 것이 대부분 수준의 학생들에게 좋은 전략은 아니라는 점입니다.

제가 여러번 강조했지만 여러분들이 배우는 공부는 대부분 이전 단원과의 연계가 되어있습니다.

학생에 따라서는 아직 앞단원의 공부가 충분히 되어있지 않은 상태에서 개념을 접할 수도 있습니다.

그런데 이런 상태에서 갑작스럽게 공식의 증명을 본다고 이해가 잘 될까요? 헷갈리기만 할 것입니다.

그래서 저는 먼저 1.개념서를 다 보고, 2.관련된 문제집을 한권정도 다 풀어본 상태가 될 때까지

이때까지는 공식을 그냥 기계적으로 받아들이면서 “이것을 대체로 어떻게 문제에 활용하는지” 에 대해서 초점을 더 맞추는 것을 추천드립니다.

 

사실 제가 대학원와서 요새는 수학공부를 이렇게 하거든요.

대학원 공부를 하다보면 정말로 엄청나게 많은 정의들과 정리들이 쏟아져 나오는데, 처음부터 한줄한줄 다 읽는것보단 일단 이것이 어떻게 활용되는지를 파악하고나서 다시 돌아가서 공부하는 것이 더 효율적인 경우가 많습니다.

 

어쨌든, 내가 이런 준비가 마쳐졌다면 교과과정내의 증명들을 공부하고 싶을텐데요.

먼저 저는 어떤 증명들은 여러분 수준에서 하기 힘들다는 점을 밝히고 싶습니다. 가령, “연속함수는 적분이 가능한 것으로 알려져이다.” 내지는 사실 정사영 공식 같은 것들이 정확하게 이해하기는 조금 어려운 느낌이 있습니다.

 

여러분들이 주로 주목하면 되는 것은 수식으로 잘 나와있는 공식과, 그 수식을 유도해보시는 것입니다! 해야할만한 것이 무엇이 있는지 여러분들이 찾아서 나열하면 귀찮을테니깐 제가 해드리지요.

 

이를테면 고1과정에서 해봐야할 증명들은 다음과 같습니다.

1.     근의 공식 증명

(+왜 a>0 일때 ax^2 + bx + c >0 가 항상 성립할 필요충분 조건이 D<0 인지)

2.     근과 계수와의 관계 공식 증명

3.     점과 점 사이의 공식 증명 (피타고라스로 증명!)

4.     점과 직선사이의 거리 공식 증명

5.     원의 방정식이 왜 그렇게 나오는지 정의를 피타고라스 정리로 유도해보기.

6.     그래프의 평행이동. 즉, y=f(x) 를 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 이동하면 왜 y-n=f(x-m)이 되는지.

7.     산술기하 공식 증명 (필요충분 조건 설명하기!)

8.     유리식 (ax+b)/(cx+d) 의 역함수 공식유도해보기.*

9.     등차수열의 합 공식 유도

10.  등비수열의 합 공식 유도

11.  여러가지 시그마 공식들의 유도 (조금 어려울 수 있음!) 

      12.    nCr = nC(n-r) 공식은 왜 성립하는가? nCr=n-1Cr+n-1Cr-1 공식은 왜 성립하는가?

           13.  각종 기하공식들 (피타고라스 정리, 삼각형넓이=1/2absinC, 외각, 내각의 성질 및 무게중심등에 대한 성질들 증명)

 

어서 받아 적으세요. 이렇게나 많네요. 사실 다시 생각해보면, 처음 공부할때부터 이것을 다 유도하려고 도전한다면 벌써 지쳐서 못합니다. 가끔 교과서에 나와있는 공식이 아닌것도, 본인이 한번 유도해볼 수 있으면 해보는 것도 좋습니다.

 

그 외에 수능 직접출제범위에서 할만한 유도는 다음과 같습니다.

 

1.     포물선, 타원, 쌍곡선의 방정식 유도.

2.     삼각함수 공식들 증명 (이것은 본인이 살면서 다섯번 이상 써본 것 위주로만 해도 충분)

3.     수능에 출제되는 기하 공식들 스스로 정리

4.     정적분의 정의가 왜 그렇게 되는지 고민해보기

5.  로그들의 법칙등 여러가지를 증명해보기.    

6.     중복조합 nHr = n+r-1Cr 이 성립하는 이유를 설명해보기.

7.     원순열 및 같은 것을 포함하는 순열 공식들 증명.

8.     이항정리에 나와있는 모든 공식들 증명.

9.     통계 단원에서 분산의 정의가 정확히 무엇인지,

그리고 그것을 왜 V(X) = E(X^2) – E(X)^2 이라고 쓸 수 있는지 유도해보기.

10.  E(aX+b) = aE(X)+b , V(aX+b) = a^2 V(X) 유도하기.

11.  lim sinx/x=1 을 증명 공부하기. (이것은 스스로 하기는 조금 힘듦)

12.  이것을 이용하여 sinx와 cosx의 미분등을 유도하기.

 

등등 굉장히 많지요. 빨리 받아 적으세요.

이 모든 것을 다해야하나? 라고 생각하면, 결론부터 말씀드리면 장담컨데 대부분 1등급을 받는 학생들은 이것을 증명으로 생각하지도 않을 것입니다.

학생들마다 차이가 있겠지만 몇 개를 제외하면 뭔가 당연히 할 수 있어야하는 것이라고 생각이 들지요.

최근 수능에서 30번 문제를 맞는 학생은, (sinx)'=cosx 를 증명으로도 생각하지 않게 당연히 할 수 있습니다. 거의 대부분 그럴것입니다.

이 글을 보는 어떤 학생들은 "뭐야? 나 이거 이미 다 할 수 있는데?" 라고 생각할 수도 있습니다. 어느정도 수학을 잘 하는 학생이겠지요.

사실 교과서에 있는 모든 공식등을 다 적은것도 아닙니다. 제가 조금 중요해보이고 쉽게 할 수 있는 것 위주로 먼저 추렸거든요.

어쨌든 여러분들이 어느정도 수학적인 시야를 터득해보고싶다면, 단순 문제풀이는 잠깐 접어두고 이런 방법으로 공부하는것이 충분히 도움이 될 것입니다!!

(그러나 다시 한번 또 강조합니다. 처음엔 증명은 수업들을때나 집중해서 듣고 그 이후엔 이 공식을 활용하는 방법을 좀 더 중점적으로 익히시는게 도움이 되요. 그렇게 책을 최소한 두세권을 익히고 나서 한번정도 도전해보세요!)

 

그런데 여러분이 눈치채였을지도 모르겠는데, 미적분1 등에서 나오는 평균값의 정리 증명이나 그것을 이용한 함수의 증감, 혹은 미분적분학의 기본정리등은 제가 언급을 하지 않았습니다. 이것은 중요하다기보단, 위에 나온 것처럼 공식이 있고 그것을 스스로 유도해보면 되는 것과 다르게 조금 더 깊게 생각해볼 필요가 있기 때문에 일단 오늘은 분리를 시켜놨습니다.

 

혹은 기하와 벡터도 마찬가지입니다. 사실상 이차곡선을 제외하고는 별로 증명을 해볼만한게 많지않은데, 저는 삼수선 정리 공식을 굳이 유도해볼 필요가 없다고 생각합니다. 그것보다도 오히려 공간도형은 적재적소에 잘 활용하는 연습을 더 중점적으로 해야합니다. 그러나 평면기하는 삼각형의 넓이 공식이나 내심이나 외심등의 성질들까지는 정확히 이해하고 있어야하기 때문에 한번정도 공부해보는 것을 추천합니다.