[수험생조언]수학적 역량을 올릴 수 있는 4가지 방법

지난번에 지식을 늘리려는 공부를 하려고 하지 말고 역량을 키우려고 노력하라는 이야기를 하였습니다.

똑같은 기출문제에 대한 해설을 보고도 외우듯이 공부하는 사람이 있는가하면, 깨달음을 얻고 다른 문제로 적용이 가능하게 공부하는 사람도 있습니다. 수학적 실력이 비슷하게 시작되어서, 둘다 같은 강사의 수업을 듣는데도 말이죠.

어떤 방법으로 공부를 하면 수학적 역량을 키울 수가 있을까요?

 

1.     한줄한줄 필연의 사고를 찾아보려고 한다. 이때, 다른 문제에서도 한번 찾아봐라.

 

기출문제 21번, 30번에 대한 문제는 대체로 호흡이 길고 어렵기 때문에 학생들이 더 쉽게 이해되어있는 자료들을 찾으려는 시도를 많이 합니다. 더 좋은 강사의 해설강의, 더 좋은 기출문제집의 해설등을 말이죠. 그런 시도 자체는 저는 굉장히 중요한 것이라고 생각합니다. 일차적으로, 제대로 된 이해가 먼저 있어야하니깐요.

그런데 그 이후가 문제입니다. N회독을 하는 과정에 있어서, 그 좋은 강사의 풀이나 기출문제집의 해설을 자꾸 ‘반복’ 만 하려고 합니다. 많은 학생들이 일차적으로 완전히 이해를 한다음에 그것에 익숙해지는데만 집중합니다. 그러면 안되고, 더 깊은 이해를 하려고 다른 노력을 해야합니다.

 

한줄한줄 다시 필연적 사고를 찾아보는 것이 이런 시도가 됩니다. 이를테면

“왜 이 단계에서 이런 부정적분을 하는게 필연적인가? 이렇게 하니깐 문제가 풀리긴 한데, 왜 이렇게 해야하는 생각이 자연스러운 것인가?”

라는 것이죠.

 

그런데 많은 학생들이 스스로 이것을 제대로 하기 힘듭니다. 그걸 자기 스스로 생각할 수 있으면 1등급을 받았겠지 뭐 문제가 있었겠습니까?

그래서 팁을 드리자면, 그 문제에 대한 필연적 사고를 그 문제 내부에서만 찾으려고 하지마세요.

이를 테면, 그것과 비슷한 다른 기출문제랑 비교를 하세요

분명히 그렇습니다. 기출문제가 아니라 내신문제집 내에서도 각자 어떤 양상을 가지고 있고 그 안에서 문제와 문제 사이의 유사함과 차이점등을 찾아볼 수가 있는거죠. 그 유사함과 차이점을 고려하다보면 필연의 사고가 이해가 되는 경우가 많습니다. 이것이 일단 가장 중요합니다.

 

2.     한 문제를 여러가지 방법으로 풀어보아라.

 

이를 테면 순열조합이나 기하와벡터등은 그 과목의 특성상 여러가지 풀이 방법을 열어두고 있습니다. 확률과 통계 단원은 여러분들이 반드시 쉽게 맞춰야할 대상 중 하나이고, 기하와벡터는 꼭 킬러문제중 하나로 출제되니 역시 여러분들이 정복해야 하는 대상입니다.

그런데 이것을 여러분들이 깔끔하게 풀었다고 하더라도, 그 이후에도 다른 풀이를 찾아보려고 하는 태도는 중요합니다.

예를 들면, 확률문제를 (경우의 수)/(경우의 수) 로 일일히 나열해서 풀어봤다면, 한번 조건부 확률로도 풀어보려고 해야합니다.

반대의 경우도 마찬가지구요.

혹은 공간도형 기하 벡터 문제는 꼭 삼수선과, 정사영, 좌표, 벡터도입 등등으로 여러가지 풀이를 다 시도해봐야합니다.

저는 모든 수능기출문제중 확률단원과 공간도형기하벡터로 출제된 모든 문제를 다 이렇게 해보았습니다.

물론 항상 성공하는 것은 아닙니다. 성공하면 아주 이득이지만, 사실 잘 안될때가 더 많습니다.

그러나 이렇게 하면서 여러분들은 “아 이런 문제는 대체로 정사영보단 삼수선정리가 잘 통하는구나!” 라는 것을 스스로 깨우치게 됩니다.

시험장에서 어떤 공식을 써야하는가는 책에 써있는 것이 아닙니다.

여러분들이 공부로 쌓아온 모든 것이 발현되면서 결정되는 논리아닌 논리인 셈이죠.

이런 능력을 키우는 아주 좋은 방법중 하나가 한 문제를 여러가지로 푸는 것입니다.

 

3.     어려운 문제를 오랜 시간동안 고민해보아라.

깊게 고민해보라는 말이 무슨 말인지 잘 이해하지 못하는 학생들이 종종 있습니다. 문제를 잡고 두시간 이상 계속 이것저것 해보라는 것입니다. 저는 특히 고1 고2때 한 문제를 3~4시간씩 잡고 있었던 적도 많았고, 사실상 고2때 수능수준의 수학이 끝났던 것 같네요.

이때 본인이 3등급이 너무 어려운 30번 문제를 이렇게 하는 것은 조금 효율이 떨어질 수도 있습니다. 가끔은 논술문제라던가 하는 것에 대해서 5시간씩 고민해보고 하는 것도 좋을 수 있겠지만, 많은 경우에 [여러분들의 수준보다 살짝 더 어려운 문제] 를 고민할 때 가장 효율성이 높습니다.

꼭 이런 경험을 많이 해보셔야합니다. 여러분들은 기본적으로 30번 문제에 최소한 40분 정도는 써야할 겁니다.

1시간 2시간을 고민해본 적 없는 사람이 30번 문제를 맞출려고 한 다는 것도 우스운거죠.

 

그런데 어떤 이유로, 본인이 현재 진도를 일단 나가는 것이 급한 경우가 있죠. 노베이스의 학생인 경우가 조금 그러한데요. 이런 경우에는 시간을 정해놓고 [토요일은 꼭 1시간 이상 한문제만 판다.] 라는 과정을 거쳐주시기 바랍니다. 막상 진도를 빼고나서 아무것도 남지 않는 경우도 더러 있으니깐요.

 

4.  반드시 피드백을 거쳐라.

 

여러분들이 반드시 해야 하는 일입니다. 저는 사실 이게 가장 중요하다고 봅니다.

왜냐면 기본적으로 수학이 어려운 이유는 [지금의 내 실력에서 조금 더 잘 하기 위해서] 필요한 노력이 계속 필요해서 그렇습니다.

알면 쉽지만 모르면 어려운게 수학이죠.

그런데 피드백이란 기본적으로 [이전에 내가 몰랐던 것이나 알았지만 미숙한 부분을 평가하고 보충해보는 행동]입니다.

실력을 올리기에 가장 좋은 방법인 셈이죠.

피드백은 여러분보다 실력이 높은 강사라던가 선생님, 내지는 학교 친친구등에 받는 것이 가장 좋습니다.

 

이를 테면 저는 인강을 학습을 하기 위해서라기보단 피드백을 받기 위해서 사용했습니다. 개념 강의 이후에 어느정도 문제를 풀어주는 파트가 있는데 저는 무조건 이걸 다 풀어보고 강의를 들었어요. 이것을 좀 당연하게 생각했는데 이런 것을 질문 하는 학생도 있더군요.

다 못풀더라도 끝까지 고민해보고 들었습니다. 이렇게 했을 때 강의 효율이 훨씬 올라갔습니다.

왜냐면 내 앞에 있는 사람이 이 풀이에 대한 피드백을 어느정도는 해주는 것이니깐요.

 

그런데 현실적으로 모든 문제를 피드백 받는 것은 가능하지 않습니다. 이때 명심하셔야하는 것은

“셀프 피드백”이라도 해야한다는 것입니다.

본인이 문제를 틀렸나요? 왜 틀렸나요? 어느 부분이 가장 어려웠나요? 어떤 개념이 부족한건가요? 계산실수를 했나요? 그러면 이런 계산 실수를 이전에는 한적이 없나요?

 

본인이 문제를 맞았나요? 이 문제의 어느 부분이 가장 어렵나요? 이것과 비슷한 유형의 기출문제가 있나요? 이것은 그저 그것을 따라한 문제입니까, 아니면 그래도 나름대로 고유하게 독창적인 풀이 부분이 있나요? 혹은 다른 풀이 방법은 없을까요?

 

라는 식이죠. 저는 그래서 맞은 문제를 꼭 답지를 봤습니다.

딱 3초정도 확인해보고 나랑 풀이가 비슷하면 그냥 넘어갑니다.

그러다보면 꼭 풀이를 여러 개를 적어놓거나 나랑 다른 방식으로 푼 풀이가 있었습니다.

 

예를 들면 저한테는 너무 뻔해서 노가다로 푼 순열조합 문제가 잇는데, 이 책에서는 기가 막히게 경우의 수를 딱 잘 셌다거나 하는거죠.

혹은 미적분 문제를 저는 그냥 아무 생각없이 수식으로 풀었는데, 답지에서는 그래프를 잘 사용한거죠.

그런 경우는 풀이를 한번 이해해보려고 노력했습니다.

그리고 평가도 좀 해보는거죠. "이건 신박하긴 한데, 기출에 나오는 아이디어는 아닌 것 같구만. 그래도 되게 신기하긴 하네"

이런게 셀프피드백입니다. 단순히 지식만 늘리는데 초점을 두는게 아니라, 이전에 내가 사고했던 풀이의 방식을 좀 더 확장 시키려는 노력을 해야한다는 것입니다.

그 풀이를 전 떠올리지 못했으니깐, 굳이 외우지 않더라도 (또 바보같이 지식으로 받아들이면서 외우려고 들지마세요.) 한번만 공부해보는 것만으로도 저에겐 뭔가 남는거죠.

이런식으로 피드백 과정을 계속 거치면서 본인이 더 발전하려고 노력하는 자세가 필요합니다.

이과 학생들에게 숙제가 있습니다. (문과 학생분들은 죄송합니다.)

숙제1 : 다음 문제를, 본인이 안 풀어봤다면 최대한 열심히 풀어보시오. (최소 40분, 최대 1시간 30분)

이전에 풀어보았다면, 최대한 자세하게 논리적 비약없이 풀이를 적어보시오.

숙제2. 이 문제를 다른 방법으로 풀어보려고 노력하시오.

숙제3. 첨부파일에 있는 해설을 보고, 이 중에 어떤 풀이가 본인이 가장 먼저 시험장에서 떠올릴 수 있을 법한지 생각해보시오.

2014 수능 수학 30번 해설.pdf

숙제4. 첨부 파일에 있는 해설을 보고, 위 문제의 풀이중 기존의 기출문제에서 유사한 풀이가 있는가? 혹은 이후에 있는가?

혹은 본인이 풀어본 N제 문제에 있는가? 그렇다면 그 문제와 141130의 비슷한 부분은 어디이며, 차이점은 무엇인가?

그 문제도 이렇게 여러가지 방법이 적용되는가? 모든 방법이 적용되지 않는다면, 어떤 이유로 그러한가?

숙제5. 위 자료는 특별히 난만한님이 오르비에 올려주신 공개자료이다. 운이좋게도 141130문제는 이런 좋은 자료가 있어서 피드백을 어느정도 해보았지만, 모든 문제들에 대한 적절히 좋은 자료가 하늘에서 뚝 떨어질것이라고 기대하기는 쉽지 않다.

그렇다면 이것 이외에 본인이 평상시에 여러 킬러문제들을 입체적으로 분석하기 위해서 어떻게 하면 되겠는가?

어떻게 하면 본인이 풀어낸 풀이에 대해서 적당히 좋은 피드백을 받을 수 있겠는가?

어떤 자료들로 어떤 노력을 할 수 있겠는가? 본인만의 상황을 반영하여 본인만의 해결책을 제시하시오.